Fractalul… perfectiune si esenta

Viziune de ansamblu (click pe imagini pentru versiunea marita)

 Se poate observa destul de usor (in imaginea marita) similaritatea dintre intreg si subdiviziuni.

Viziune in profunzime

Fractalul Julia (Phoenix)

In functie de diferitele formule matematice (care sunt de o complexitate ce iti da dureri de cap, calculati pe baza numerelor complexe, forma z=a+bi), fractalii primesc diferite forme.

Fractalul Julia pentru f(c), c=-0.70176-0.3842i

… pentru f(c), c=-0.835-0.2321i

(valori negative ale a si b determina o structura alungita orizontal, de multe ori formata dintr-un
singur grup)

… pentru  f(c), c=0.45+0.1428i

… respectiv pentru f(c), c=0.285+0.01i (versiune marita)

(valori pozitive ale a si b determina o structura alungita
vertical, formata din mai multe grupuri)… iar aici o animare a viziunii de
profunzime a fractalului Julia

 Aceste tipuri de fractali sunt de o complexitate covarsitoare, calculati prin formule
matematice complexe. Dar, ca sa va demonstrez ca fractalii pot fi si “distractivi”, va voi prezenta 2 modele de fractali simpli, plani, care mi-au captat atentia inca de cand i-am descoperit in manualul
de fizica:

   Fulgul lui Koch

  Fiind unul dintre primele curbe fractale care au fost descoperite si descrise, Fulgul Koch (steaua
Koch) este o curba matematica care se aseamana cu un fulg.

Probabil este cel mai simplu fractal de desenat, lucru pe care il puteti face si voi astfel:

1. Incepeti prin a desena un triunghi echilateral (in exemplu e desenat cu varful in jos);

2. La fiecare pas impariti fiecare segment de pe figura in 3 parti egale;

3. Fiecare parte de mijloc inlocuiti-o cu un triunghi echilateral, caruia ulterior ii stergeti baza (baza e chiar segmentul din mijloc);

4. Ramane la libera alegere de cate ori vreti sa faceti acesti pasi.

 Cele mai curioase chestii la acest fractal este faptul ca oricate iteratii (pasi) ar modela fractalul, acesta are 2 proprietati importante:

     1. Aria ramane limitata;

     2. Perimetrul tinde la infinit.

Aici puteti vedea o simulare a construirii unui fulg Koch:

 La fel de bine se poate observa proprietatea de similaritate
cu sine. Iar pentru ca dimensiunea laturilor se divide cu
3 la fiecare pas, precum si pentru ca unghiurile dintre laturi
se schimba, figura rezultata nu ajunge niciodata sa se
intersecteze cu sine.

 Carpeta lui Sierpinski si triunghiul lui

Si acestea sunt 2 exemple inteligibile de fractali.

 CARPETA LUI SIERPINSKI

 Se obtine relativ usor:

  1. Se porneste de la un patrat,
care e divizat in 9 patrate identice, dar de
dimensiuni mai mici;

  2. Interiorul se coloreaza astfel:
toate patratele interioare mai   putin cel
din mijloc in negru;

  3. Pentru toate patratele negre
se aplica iar divizarea in 9 patrate
identice, si asa mai departe;

TRIUNGHIUL LUI SIERPINSKI

Obtinerea:

Ok, ok… am vazut toata teoria asta… dar de ce ziceam in titlu ”Esenta”?

Pai, oricat ar parea de uimitor, se banuieste ca toata natura e facuta dupa modelul fractalilor, ba chiar mai mult incepe sa se speculeze faptul ca adevarata geometrie este cea fractala.

Dar vorbeam de natura. Se pare ca totul, incepand de la crestarea tarmurilor, la formarea muntilor, norii, fulgii de zapada, cristalele, fulgerul, retelele hidrografice, broccoli-ul, precum si sistemele sangvine si pulmonare. Ba mai mult, acum ceva timp am citit faptul ca
s-a descoperit un gol de vid in spatiul cosmic de o imensitate care i-a pus pe ganduri pe oamenii
de stiinta. Asta pentru ca, dupa calculele lor, s-ar parea ca si acel gol s-a format dupa un model fractalic, astfel ca teoriile legate de geneza si dimensiunile spatiului cosmic ar putea fi date peste cap.

Aici se pot vedea cateva exemple de fractali naturali:

Animatie ce simuleaza
formarea unui masiv montan
dupa un fractal

O frunza de feriga, fractal natural. Se observa clar proprietatea
de similaritate cu sine.

Broccoli Romanesco

 DVD iradiat cu microunde

(banuiesc ca se poate si in cuptorul cu
microunde, nu am incercat, daca vreti incercati,
dar pe raspunderea voastra)

O bucata de Acril, dupa ce un curent electric puternic
s-a descarcat intr-un punct de pe una din suprafete

 Oricum, ma gandesc sa ma opresc aici, am fost destul de plictisitor. Ca de obicei ma roade o curiozitate legata de numarul celor care au ajuns sa citeasca pana aici, asa ca, va recomand sa lasati un comentariu legat de lectia de azi.

Si pana nu uit: exista cateva programe de generare
a fractalilor 2D sau 3D, insa sunt destul de greu de inteles si utilizat. Oricum, eu am scos un program
de genu’ de pe net, e open-source, deci nu imi fac griji ca l-as fi furat. Oricum, ideea e ca, cu ajutorul
lui am facut niste imagini care sper sa va incante (de fapt sunt niste “flame” generate dupa niste
modele fractalice care au similaritatea cu sine foarte slaba, dar in esenta sunt fractali):

 (click pentru imaginile marite)

Sper ca ati gasit interesanta prezentarea mea… si promit ca voi posta periodic cate o ”flama” dintre cele mai reusite!

Sa auzim de bine!